Και ξαφνικά κάπου εκεί στην Ά γυμνασίου μαθαίνουμε για κάτι παράξενα πλάσματα που λέγονται αρνητικοί αριθμοί. Και άντε πες η πρόσθεση και η αφαίρεση έχουν μια λογική. Και ο πολλαπλασιασμός θετικού με αρνητικό αριθμό. Αλλά αρνητικός επί αρνητικό να δίνει θετικό; Από πού κι ώς που;
Λοιπόν μια πρώτη απάντηση είναι πως αν τα πράγματα ήταν αλλιώς δε θα υπήρχε συμβατότητα ως προς τις πράξεις. Αν για παράδειμα υποθέσουμε ότι αρνητικός επί αρνητικό κάνει αρνητικό τότε θα είχαμε το εξής παράδοξο:
Ας θεωρήσουμε τον εξής αριθμό: (-1)(-1+1)
Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε
(-1)(-1+1)=(-1)(-1)+(-1)(+1)=-1+(-1)=-2
Από την άλλη αν κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση προκύπτει
(-1)(-1+1)=(-1)0=0
Οπότε θα είχαμε -2 = 0 κάτι που προφανώς είναι παράλογο.
Ωραία θα πει κάποιος ας κάνουμε το μείον επί μείον να κάνει μείον και το μείον επί συν να κάνει συν.
Τότε θα είχαμε άλλο πρόβλημα. Για παράδειγμα
-3=(-1)+(-1)+(-1)=(-1)(+3)=+3 που είναι επίσης παράλογο.
Ωστόσο και με τη διαίσθηση μπορεί να γίνει αντιληπτό εξίσου καλά. Φανταστείτε ότι καθόμαστε στην ευθεία των πραγματικών στο σημείο 0. Δεξιά μας είναι οι θετικοί κι αριστερά μας είναι οι αρνητικοί. Έστω οι αριθμοί +2 και +5. Το να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 5 σημαίνει να κάνουμε 2 βήματα προς τα δεξιά που το καθένα θα έχει μήκος ίσο με 5. Το να κάνουμε "αρνητικό" πλήθος βημάτων "αρνητικού" μήκους το καθένα μπορούμε να το δούμε ότι όπως στεκόμαστε στο 0 κοιτάμε την ημιευθεία των αρνητικών αριθμών (το πρώτο μείον) και μετακινούμαστε προς την αντίθετη φορά από αυτή που κοιτάμε (το δεύτερο μείον) δηλαδή προς τα δεξιά, που είναι οι θετικοί αριθμοί. Το να πολλαπλασιάσουμε το -2 με το -5 σημαίνει λοιπόν ότι στεκόμαστε στο 0, κοιτάμε την ευθεία των αρνητικών (το πρώτο μείον) και κάνουμε 2 βήματα προς την αντίθετη κατεύθυνση από εκεί που κοιτάμε (προς τους θετικούς επομένως) μήκους 5 (το δεύτερο μείον).
Επίσης αυτό είναι συμβατό και με τον πολλαπλασιασμό θετικού με αρνητικό. Στο παραπάνω παράδειγμα -2 επί +5 μεταφράζεται ως "στέκομαι στο 0, κοιτάω την ευθεία των αρνητικών αριθμών (το πρώτο μείον) και μετακινούμαι δύο βήματα μήκους 5. Προς τα που; Αφου το πρόσημο του 5 είναι +, τα βήματα τα κάνω προς τα εκεί που κοιτάω, δηλαδή προς τους αρνητικούς.
Λοιπόν μια πρώτη απάντηση είναι πως αν τα πράγματα ήταν αλλιώς δε θα υπήρχε συμβατότητα ως προς τις πράξεις. Αν για παράδειμα υποθέσουμε ότι αρνητικός επί αρνητικό κάνει αρνητικό τότε θα είχαμε το εξής παράδοξο:
Ας θεωρήσουμε τον εξής αριθμό: (-1)(-1+1)
Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε
(-1)(-1+1)=(-1)(-1)+(-1)(+1)=-1+(-1)=-2
Από την άλλη αν κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση προκύπτει
(-1)(-1+1)=(-1)0=0
Οπότε θα είχαμε -2 = 0 κάτι που προφανώς είναι παράλογο.
Ωραία θα πει κάποιος ας κάνουμε το μείον επί μείον να κάνει μείον και το μείον επί συν να κάνει συν.
Τότε θα είχαμε άλλο πρόβλημα. Για παράδειγμα
-3=(-1)+(-1)+(-1)=(-1)(+3)=+3 που είναι επίσης παράλογο.
Ωστόσο και με τη διαίσθηση μπορεί να γίνει αντιληπτό εξίσου καλά. Φανταστείτε ότι καθόμαστε στην ευθεία των πραγματικών στο σημείο 0. Δεξιά μας είναι οι θετικοί κι αριστερά μας είναι οι αρνητικοί. Έστω οι αριθμοί +2 και +5. Το να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 2 με τον αριθμό 5 σημαίνει να κάνουμε 2 βήματα προς τα δεξιά που το καθένα θα έχει μήκος ίσο με 5. Το να κάνουμε "αρνητικό" πλήθος βημάτων "αρνητικού" μήκους το καθένα μπορούμε να το δούμε ότι όπως στεκόμαστε στο 0 κοιτάμε την ημιευθεία των αρνητικών αριθμών (το πρώτο μείον) και μετακινούμαστε προς την αντίθετη φορά από αυτή που κοιτάμε (το δεύτερο μείον) δηλαδή προς τα δεξιά, που είναι οι θετικοί αριθμοί. Το να πολλαπλασιάσουμε το -2 με το -5 σημαίνει λοιπόν ότι στεκόμαστε στο 0, κοιτάμε την ευθεία των αρνητικών (το πρώτο μείον) και κάνουμε 2 βήματα προς την αντίθετη κατεύθυνση από εκεί που κοιτάμε (προς τους θετικούς επομένως) μήκους 5 (το δεύτερο μείον).
Επίσης αυτό είναι συμβατό και με τον πολλαπλασιασμό θετικού με αρνητικό. Στο παραπάνω παράδειγμα -2 επί +5 μεταφράζεται ως "στέκομαι στο 0, κοιτάω την ευθεία των αρνητικών αριθμών (το πρώτο μείον) και μετακινούμαι δύο βήματα μήκους 5. Προς τα που; Αφου το πρόσημο του 5 είναι +, τα βήματα τα κάνω προς τα εκεί που κοιτάω, δηλαδή προς τους αρνητικούς.
